●2016年4月29 日（金・祝）-30日（土） ●会場：岐阜善光寺 テーマ「証明とは何か-古代ギリシア数学を掘り下げる」 （一本ゲタ大使館館長によるレポートです）

｢証明という言葉にはどんなイメージを持っていますか？｣ 森田さんのこんな言葉から2日間の講座は始まった。 私はメモに｢論理を一歩づつ積み上げていき、カチッとした動かないものを作る行為｣と書いた。参加者の中には「証明は･･･つまらない｣と書いている人もいた。確かに！（笑） 2日間講座を受けた後、この私が抱いている「証明」という言葉に対するイメージは変わるのだろうか？ 証明というのは古代ギリシアのタレスが初めて行ったと言われている。例えばタレスの定理で｢対頂角は等しい｣というのがあるが、これなどは見たまんまで直感的に等しいに決まっているのだが、そんな当たり前のことを“証明しなければならない”と考えたとはほとんどビョーキだ。 しかし、ここから、当たり前と思われることも、当たり前と考えずにいちいち証明という方法で明らかにしていった結果として、現在の文明、科学技術に発展したのだとすると、ビョーキではあったが偉大だったのかもしれない。 この2日間講座のテーマは「ユークリッドの原論を証明する」。古代ギリシア人の気持ちになって証明を実際に行ってみる、という試みだった。 とても困難な試みである。 というのは、私達はすでに多くのことを知ってしまっているからだ。円周率は3.14･･･だし、素数は無限にあるし、三角形の面積は底辺×高さ÷2だし、実体験がないまま多くを知りすぎてしまっている。その知っていることを一度横に置いて、それを知らないふりをして全っさらな脳の状態でその当時にあたえられた条件のみ証明を試みる、という行為はとても難しい。 そう考えると、古代ギリシア人たちは何も無いところから様々な公式を作り出したのはすごいことだ。 ところで、私達は数学で証明されたものは未来永劫間違いはないと思われがちだが、実はそうでもないらしい。 例えば、オイラー（18世紀）の多面体公式ではそれが証明された後になってその反例が見付かり、そのためオイラーの公式が適応できる領域を設定したことで、別の数学者が幾何学（トポロジー）を見つけたとか。 証明の醍醐味はこういう所にあるのだろうと思う。 つまり、ある数学者がかちっとした定理を作り、それを検証していく作業の中で反例が見付かってしまい、それを何とか守ろうとして別の数学者が逆に新しい数学を作ってしまうという順番で、数学が拡張されていくというわけだ。 様々なレクチャーやワークショップもありの2日間の講座を終え、最初の質問に立ち返ってみると私の中で何か変わったのだろうか？ 私自身は最初に「証明」という言葉を聞いたときに、かちっとした硬いイメージを浮かべたが、講座を終えてみると、一見かちっとした硬いものに思えていた証明という言葉が、実はやわらかい柔軟なものだと思うようになった。 ただそれは最初から柔軟なものではなくて、がちがちに固めた論理で突き進んでいくと、その先にやわらかく柔軟な世界が広がっていたというような印象だ。 ウィトゲンシュタインの言葉を思い出した。 「語り得るものについては明確に語られなければならない。語り得ぬものについては沈黙せねばならない」 数学の歴史を聞いていると、新しい論理を自由な発想で勝手に創り出すのではなくて、全く自由な発想のない確実な論理をひとつひとつ厳密に積み上げていった先に、やわらかく柔軟な論理が必然的に出てくるという発展の仕方を辿っているようだ。 「語り得るものについて厳密に明確に語る」 とても難しいが、そこにしか新しいものは生まれない、気がする。 一本ゲタ大使館　館長

参加者のご感想

●THさん　10代（中学生）　女性　岐阜県　初参加 2日間あることで、より深く証明について考えることができました。一晩考えることで理解がより深まり、あっという間の2日間でした。また、参加型の形式で自ら証明するというのもとても面白かったです。数学がより好きになりました。 ●KKさん　10代（中学生）　男性　岐阜県　3回目 話をきくだけでなく、話し合いで実際に考え発表するのは今までとは違うたのしさがあります。宿題も一人で落ち着いて考えられるからより理解して2日間だから確認できました。最後の論理の話は、今やっている部活に使えそうでです。参考になりました。ありがとうございます。もう1回お願いします。 ●MHさん　40代　男性　静岡県　4回以上 「証明」という行為を原点に立ち戻って考え、体現することで森田さんが数学を通して世の人々に伝えようとしている、学ぶ≒再発見する、という感覚が今までの講演形式よりも、より強く受け止められました。善光寺という美しい環境で2日間過ごすことができ、大変有意義な時間を過ごすことができました。 ●MKさん　20代　男性　京都府　2回目 2日連続は長いかなと思いましたが、あっという間でした。『原論』は、読まなければと思いながら、なかなか普段そんなゆっくりした時間がとれず、先のばしにしていたので、最初の部分だけでも2日かけて読み、考えることができてよかったです。言明と図を組み合わせたり、実際に公理を使って証明したりすることで、取っ付きにくいイメージの『原論』が楽しく読めました。「当たり前」と思うことを説明しようとするといかに難しいことかユークリッドがいかに慎重に組み立てているかよくわかりました。貴重な体験ができました。ありがとうございました。また必ず参加します！ ●NHさん　50代　男性　愛知県　2回目 ユークリッドの原論を非常に丁寧に面白く教えて下さり、”こういう授業を聞きたかった”と強く実感した。また、ワークショップで考えるのも大変楽しく、理解も進んだ。やはり学問とはこういうものであることを痛感した。2日目のオイラーの公式も大変興味深い内容だった。講義だけでもなく（もちろん講義も興味深かったが）この2日間は大変良い構成だった。むしろまだやりたい気分だった。懇親会に参加できず残念だったが次回は是非参加したい。今回はユークリッドの原論だったが他の数学についても開催して欲しい。また、私自身は化学の研究者であるが”そもそも化学反応はどのように・・・”という起源に触れたりしながら追求してみたい。とても良かったです。素晴らしい2日間でした。 ●IHさん　40代　男性　富山県　初めて 2日間じっくりと数学に集中できてよかった。大変よい時間をすごせました。ありがとうございます！！ ●ITさん　20代　男性　岐阜県　初めて 頭の中で分かったつもりでも、やはり論理を扱うことが身についていないと、話して伝えるのは難しいと感じました。今回は同じグループの方に頼ってしまいましたが、次回参加することがあれば、もっと積極的に挑戦したいと思います。数学は大の苦手なのですが、信念と論理のつながりのお話は他の分野でも通じるように感じました。貴重な時間をありがとうございました。 ●MHさん　30代　男性　愛知県　4回以上 （大使註：会場の場所については今回のように）少し離れたほうがどっぷりと数学漬けになるのでいいですね。 ホテルに戻って2時ぐらいまでずーっと考えていました。証明をしていく上で命題１の正三角形がどれほど強力な威力かがわかりました。原論がほんとうに練り上げられたものだと実感しました。命題13から家でやってみます。学校の中ではどうしても証明は苦手なものという印象が強いです。このようなワークショップ形式ならちょっとは楽しくやれそうかなと思います。そして中学校の証明がとても省略されていることもわかりました。でも、説明の前提が必要なので、小中学校でのつながりを考えると「この部分（教科書の内容）までではないといけないのかな・・・」とも思いました。証明って奥が深いですね。 ●MKさん　10代（高校生）男性　名古屋市　4回以上 「証明」とは単純にみえて複雑なものである。 ●ASさん　40代　男性　奈良県　初参加 初日までの自分の考え方と、2日目が終わったトキの自分の考え方は、自分の中ではガラリと変化したと思う。何がどう変化したかはさて置き、このような変化の契機を与えていただいたことに深く感謝いたします。森田さんの人間としての在り様が変化の契機となったことは間違いなく、私自身も覚悟を決めて毎日を過ごさないといけないと思いました。とにかく良い刺激をもらえました。どうもありがとうございます。 ●NTさん　50代　女性　愛知県　4回以上 ユークリッド原論の一番始めの公理のところは聞いた事があったが、今回は深く知ることができてとても味わい深かった。必要最低限の順番で次々に導き出されていく定理の連鎖が美しいと思った。そしてグループワークや全体活動の中で自分の考えを伝えて説得しようと試みたり、また相手の考えを聞いて納得したり、する中で変化していく証明は数学的コミュニケーションだと感じた。そういう意味で証明は動的なものといえるのだろうか。1日目の感想は”証明が面白い！楽しい”と思った。2日目の午前中の、オイラーの多面体定理からトポロジーの理論が生まれたという話はとても楽しかった。常に数学の世界は変化し続けていることに感動しました。デカルトの幾何学で次はぜひやってほしいです！！ ●ASさん　30代　男性　愛知県　4回以上 ホテルで一人で宿題考えてるのは計（はか）どるけど寝（さび）しい。けど、ためになる。／ワークショップ形式だったが雰囲気・話はいつも通りだった。／時間があっというまに過ぎた。／ギリシャの数学がテーマだったが今どきの数学に話が飛ぶのでゆだんできない。／前日に「要るかも？持ってきてください」と言われた定規と色ペン、コンパスは使わなかった。 ●KKさん　20代　男性　神奈川県　4回以上 ワークショップ、もの凄く楽しかったです。僕は2日目の方が楽しかったです。工夫をし、何かを作り上げるということに飢えている人は一定数いるのかなぁと感じました。新しい学問が生まれる瞬間というのに興味があります。若い人とでもいいですし、そうでなくてもいいのですが、参加者自身が森田さんと一緒にワークショップを作るところから始めるのもいいのかなぁと思いました。 ●HMさん　50代　男性　名古屋市　4回以上 キンチョーしました。移動がちょっと大変でした。ちょっと足元が寒かったです。 ●HYさん　50代　女性　名古屋市　4回以上 難しかったけれど面白かったです。ただ名古屋から2日岐阜までというのはちょっとキツかった気がします。森田さん、加藤さんはじめスタッフの皆さま、お疲れ様でした。又、期待してます。 ●MYさん　40代　女性　岐阜県　4回以上 多人数で考えるのは集合知につながるので証明過程が様々にみられるのは、興味深く・・・／続きを聞きたい。／数学の言葉を学びたい。 ●IMさん　50代　男性　名古屋市　4回以上 どちらかというと計算よりも証明の方が苦手でしたので参加するまでは不安もありましたが、原論の1〜12の命題に取り組んでみて（半分くらいしか着いて行けませんでしたが）まるで長編のスペクタクル映画を観終えた後のような感銘を受けました。理解できなかった証明に付いても「やってみたい」という興味と好奇心だけはしっかり持つことができました。2日間ありがとうございました。 ●KTさん　50代　女性　名古屋市　4回以上 とても楽しく、新しい体験のできた2日間でした。自分たちが発表するとなると、マジで必死に理解しようと（ない知恵を絞って）あれこれ考えられるものなんだな、と実感しました。（すいませんトポロジーのあたりで少し寝てしまいました・・・）またこんな機会があればぜひ参加したいです。懇親会も楽しかったです。ありがとうございました！ ●HMさん　60代　女性　岐阜県　2回目 こういう企画をしていただいて、ありがとうございます。ユークリッドの『原論』などという名まえしか知らなかったものに実際に触れてみる、というか、考えなおしてみるというのは新鮮でもあり、中学生以来の作図はおっかなびっくりでもありましたが、証明するということのダイナミックスさに、少しは触れられたかなーと思います。